线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$

解题步骤 1

乘以 $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$ 。

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解题步骤 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 2$ .

解题步骤 1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 x + 2 y + 3 z \\ x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 3 & x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

解题步骤 1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

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解题步骤 1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

解题步骤 1.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z \cdot z \end{array}]$

解题步骤 1.3.3

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

解题步骤 2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$14 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

解题步骤 3

化简行列式。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - (2 y) - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

解题步骤 3.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

解题步骤 3.1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x \cdot x - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.1.1

移动 $x$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x \cdot x) - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 1 \cdot 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.6

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y \cdot y - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.1.5.7.1

移动 $y$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 (y \cdot y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.7.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.9

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 \cdot 3 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.10

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.11

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 \cdot 2 z y - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.12

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 z (3 z)$

解题步骤 3.1.5.13

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z \cdot z$

解题步骤 3.1.5.14

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.1.5.14.1

移动 $z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 (z \cdot z)$

解题步骤 3.1.5.14.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z^{2}$

解题步骤 3.1.5.15

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.6

从 $- 2 x y$ 中减去 $2 y x$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

移动 $y$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 2 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $- 2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.7

从 $- 3 x z$ 中减去 $3 z x$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

移动 $z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 3 x z - 3 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.7.2

从 $- 3 x z$ 中减去 $3 x z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.8

从 $- 6 y z$ 中减去 $6 z y$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

移动 $z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

解题步骤 3.1.8.2

从 $- 6 y z$ 中减去 $6 y z$ 。

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

解题步骤 3.2

从 $14 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$13 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

解题步骤 3.3

从 $14 y^{2}$ 中减去 $4 y^{2}$ 。

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

解题步骤 3.4

从 $14 z^{2}$ 中减去 $9 z^{2}$ 。

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 5 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z$

线性代数 示例

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